Una piccola sfida: voglio provare a vedere se riesco a raccontarvi una cosa bella di una materia perlopiù ritenuta, a torto, come il regno della freddezza argomentativa: la matematica. Usando solo parole, numeri e un’immagine.
Avete mai sentito parlare delle “diagonali gentili”?
Prima però bisogna sapere che cosa sono il triangolo di Pascal (anche detto di Tartaglia) e la sequenza di Fibonacci.
Il triangolo di Pascal (o di Tartaglia, dal nome dei due studiosi che più se ne occuparono, anche se lo conoscevano già gli antichi matematici cinesi, indiani e persiani) è uno schema di numeri disposti appunto a triangolo.
Nel vertice in alto c’è un 1, che è anche la prima “riga”. Il triangolo si forma poi per aggiunta di righe sotto la prima riga “mono-numerica”. Le regole per formare una nuova riga sono:
a) ogni nuova riga è composta da un numero in più rispetto a quella sopra, e così via, potenzialmente all’infinito;
b) agli estremi va messo sempre il numero 1;
c) i numeri intermedi si ricavano dalla somma di quelli fra loro adiacenti nella riga sopra.
Si può raffigurare sia come triangolo isoscele, sia come triangolo rettangolo (come sotto):
1
1-1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1-5-10-10-5-1
1-6-15-20-15-6-1
1-7-21-35-35-21-7-1
1-8-28-56-70-56-28-8-1
…eccetera, all’infinito…
Il triangolo di Pascal (o Tartaglia) ha una sua eleganza formale. Ad esempio ogni riga è internamente speculare (o simmetrica) per valori crescenti da ogni estremo, e al centro della riga troviamo, alternatamente, un volta un singolo “numero-cima”, una volta due uguali “numeri-altipiano”.
È come se ogni riga del triangolo fosse a sua volta un più piccolo “triangolo di valori” dato dai numeri che “si arrampicano” partendo da sinistra e da destra, finendo una volta con una vetta a punta, e la volta sotto con una vetta smussata.
La sequenza di Fibonacci (da Leonardo Fibonacci) è una serie di numeri, anch’essa infinita. Inizia con 0 e 1, e la regola per scrivere il numero successivo è sommare i due precedenti.
La sequenza di Fibonacci si scrive allora:
0-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144
…eccetera, all’infinito…
Ora, il triangolo di Pascal ha importanti applicazioni in algebra e presenta tante altre curiose simmetrie interne (è “parente”, tanto per dire, di un altro fenomenale “personaggio” connesso al mondo dei frattali, il triangolo di Sierpinski).
Mentre la sequenza di Fibonacci scandisce il ritmo di tanti fenomeni naturali, come ad esempio la distribuzione dei petali in molti tipi di fiori o il numero riproduttivo delle api a ogni nuova generazione di quelle minuscole creature.
Ma la cosa bella è come il triangolo di Pascal e la sequenza di Fibonacci si sposano insieme grazie alle “diagonali gentili”.
Queste sono linee a lieve pendenza (da cui “gentili”), tracciate ad hoc a unire trasversalmente certi valori nel triangolo di Pascal (disegnato come isoscele). Se si sommano poi i valori pescati dalle diagonali gentili, chi non ti andiamo a ritrovare?
Ma certo proprio lei: la sequenza di Fibonacci.
Provare per credere e stupire, osservando l'immagine tratta (insieme alle cose che vi ho raccontato) dal bellissimo libro “Il meraviglioso mondo dei numeri” di Alex Bellos (Einaudi – 15 €), pieno zeppo di simili curiosità e sorprese matematiche.
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