"Un pensiero al giorno" 136 - "Infinito e oltre"

"Un pensiero al giorno"

136 - "Infinito e oltre"

In qualità di nutria onnivora culturale, a mio modo apprezzo molto la matematica. Ho precisato con "a mio modo", perché sono sempre stato più un matematico ammiratore, che non praticante.

A scuola, mi rendevo conto che il mio talento in materia aveva i suoi ben evidenti limiti, ma non di meno continuavo a gustarmi gli stupori regalati dai numeri.

Una delle meraviglie più belle, ricordo di averla provata quando incontrai la storia della radice quadrata di due. Un vero e proprio scherzetto che ci proviene dal mondo dei numeri. Se ne accorse Pitagora, credo, andando a rovistare nei meandri del suo famoso teorema, o forse uno degli allievi, che lo approfondirono.

Si accorsero che provando ad applicare il teorema al caso particolare della diagonale di un quadrato di lato 1, ne sortiva fuori una stranezza magica. La diagonale di tale quadrato (che è anche ipotenusa dei due triangoli rettangoli isosceli, nei quali il quadrato è dalla medesima suddiviso) risulta, come da definizione, la radice della somma dei quadrati dei cateti, ossia radice di due. Estraendo tale radice, si ottiene un numero con la virgola.

Il problema è che anche continuando a cercare numeri dopo la virgola che diano alla cifra una sua forma definitiva, non si troverà mai l'ultimo. Ce ne sarà sempre uno dopo: la radice di due è un "uno virgola" seguito da infiniti numeri. In altre parole, il lato e la diagonale del quadrato non possono avere una unità di misura comune. Non esiste una porzione di essi contenuta esattamente in entrambi. Detto ancora in altro modo, sono fra loro "incommensurabili".

Pare che questa suprema sorpresa costasse addirittura la vita all'allievo di Pitagora che la scoperse. Il maestro non voleva che fosse divulgata al di fuori della sua scuola e quindi chiuse la bocca per sempre all'allievo.

L'argomento suonava come un'eresia, rispetto alla purezza della presunta precisione infallibile della matematica. Non che la radice di due dimostrasse alcuna fallibilità, ma immetteva in ogni caso un'argomentazione bizzarra, intollerabile agli occhi pitagorici (non si sa poi bene quanto ci sia di leggenda in tutto ciò, ma noi la prendiamo per il fascino della storia, che alla fine è quanto ci interessa).

Tanto, la radice di due non era l'unica stranezza matematica destinata a far clamore. Un botto equivalente venne riservato anche dal rapporto fra circonferenza e diametro del cerchio: com'è noto, il celeberrimo "P greco". Anche qui, se si prova a misurare la circonferenza e il diametro, non si troverà mai un misuratore comune preciso, ma la prima sarà sempre 3,14 volte il secondo, con ancora infiniti numeri dopo la virgola.

Se ci si riflette, è proprio questo andare all'infinito oltre la virgola che affascina un sacco. Ogni nuovo numero trovato, una posizione ulteriore a destra della virgola, sarà sempre più piccolo, eppure non esaurirà mai la ricerca, porterà sempre il traguardo dell'infinitamente piccolo ancora un pelo oltre, e poi ancora, e così via.

L'infinito risulta dunque contenuto nel finito e questo si sposa benissimo con le osservazioni di Zenone, e la sua corsa di Achille con la tartaruga.

Questi non sono i soli scherzetti giocati dagli infiniti. Suona strano parlarne al plurale: di infinito dovrebbe essercene uno solo. E invece ci si rese conto che se si considerano ad esempio gli infiniti numeri dispari, e poi gli infiniti pari, ecco che abbiamo già due gruppi infiniti. Se si torna di nuovo a prendere in esame l'infinito di tutti i numeri, ecco una nuova magia: rispetto a quello dei soli numeri pari (o dispari) esso sarà per forza più grande. Nuova meraviglia dunque: un infinito più grande di un altro. Com'è mai possibile?

So che nel prosieguo della storia dei numeri, il geniale matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918) è riuscito a domare anche questi impervi misteri, ma per noi umili ammiratori nutriali delle magie numeriche, la soddisfazione della meraviglia riservata da tali acrobazie del pensiero rimane intatta e tutta da assaporare.